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⾼中数学培优教程（第五版） 兰琦 著
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第⼀章 函数与⽅程
7
1.1 函数的零点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
韦达定理
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
不动点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.4
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
第⼆章 函数与导数
19
2.1 函数性质
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2 导数原型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3 微积分初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.4
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
第三章 三⾓恒等变形与三⾓函数
29
3.1 和差⾓公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2 倍⾓公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.3 万能公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4 积化和差与和差化积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.5 简单三⾓不等式与⽅程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.6
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.7
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
第四章 解三⾓形
39
4.1 常规的解三⾓形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2 解三⾓形在平⾯⼏何中的应⽤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.3
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
第五章 复数
45
5.1 共轭复数
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46
5.2 复数的⼏何意义与三⾓形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.3 单位根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
5.4
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.5
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
34
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⽬录
第六章 平⾯向量
51
6.1
向量的分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2 极化恒等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3
向量与四⼼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.4
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.5
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
第七章 数列
57
7.1 基本数列与极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.2 迭代函数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7.3 裂项法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
7.4 递推、通项与前 n 项和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
7.5
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
7.6
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
第⼋章 不等式
73
8.1 均值不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
8.2 柯西不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.3 伯努利不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.4 切线法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
8.5
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
8.6
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
第九章 代数变形
85
9.1 代数式的“元” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
9.2 代数式的“次” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
9.3 代数式的“形” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
9.4
习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
9.5
习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
第⼗章 平⾯⼏何
95
10.1 直线型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
10.2 圆型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
10.3 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10.4 习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
第⼗⼀章 ⽴体⼏何
103
11.1 三⾯⾓定理及空间余弦定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.2 空间位置关系与⼏何量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.3 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.4 习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
第⼗⼆章 解析⼏何
111
12.1 第⼀定义、光学性质与切线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.2 第⼆定义与极坐标⽅程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116⽬录
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5
12.3 第三定义与垂径定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
12.4 交点曲线系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.5 参数⽅程
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.6 仿射变换
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
12.7 极坐标系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12.8 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.9 习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
第⼗三章 数论初步
137
13.1 有理数与⽆理数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 整除、同余与不定⽅程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.3 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.4 习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
第⼗四章 计数与概率
151
14.1 排列组合
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
14.2 古典概型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 ⼏何概型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4 递推模型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.5 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6 习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
第⼗五章 组合杂题
161
15.1 极端情形
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.2 论证与构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
15.3 “单循环赛” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.4 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.5 习题参考答案及提⽰ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
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